Parkour : étude du mouvement d'une traceuse

D'après l'épreuve de physique-chimie et mathématiques du baccalauréat en série STL, métropole, juin 2024.

Le parkour est une discipline sportive acrobatique qui consiste à franchir des obstacles urbains ou naturels sans l'aide de matériel. La photographie ci-dessous montre un exemple de saut réalisé par une traceuse.

Une traceuse s'apprête à sauter du haut d'un mobilier de rue, noté bloc A dans le but d'atteindre le bloc B distant de \(4{,}0~\text{m}\) du bloc A et plus bas de \(2{,}0~\text{m}\), comme représenté sur le schéma ci-dessous.

La traceuse est modélisée par un point matériel \(\text{M}\) de masse \(m\) évoluant dans le champ de pesanteur terrestre \(\vec{g}\). Dans ce modèle, on néglige la résistance de l'air et on suppose que la traceuse n'est soumise qu'à son poids. L'étude est menée dans le référentiel terrestre supposé galiléen et les blocs A et B sont immobiles.

La position de la traceuse sera repérée par le point \(\text{M}\) de coordonnées \(\left(x(t)\, ; y(t)\right)\) dans le repère représenté dans la figure, la variable \(t\), exprimée en secondes, étant étudiée sur l'intervalle \([0\, ; 1]\).

La traceuse arrive en courant à l'extrémité du bloc A.
À l'instant \(t = 0\), elle s'élance du point origine \(\text{O}\) avec un vecteur vitesse initiale \(\vec{v_0}\) orienté selon l'axe horizontal \((\text{O}x)\) : \(\vec{v_0}=v_0\vec{i}\) avec \(v_0 = 7{,}0~\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\).

On cherche à savoir si la traceuse réussira à atteindre le bloc B.

Données

• masse de la traceuse : \(m = 50~\text{kg}\) ;
• intensité du champ de pesanteur : \(\text{g} = 9,8~\text{m}\cdot\text{s}^{-2}\).

1. Donner la direction et le sens du vecteur poids ainsi que l'expression littérale de sa norme.

2. On admet que les coordonnées \(a_x(t)\) et \(a_y(t)\) du vecteur accélération \(\vec{a}\) sont 
\(\begin{cases} a_x(t)=0\\a_y(t)=-\text{g} \end{cases}\), conséquence directe de la deuxième loi de Newton appliquée au point \(\text{M}\).

Pour \(t\) appartenant à l'intervalle \([0\,; 1]\), on note \(v_x(t)\) et \(v_y(t)\) les coordonnées du vecteur vitesse \(\vec{v}\) :

• \(v_x\) est la primitive de la fonction \(a_x\) vérifiant \(v_x(0) = v_0\) ;
  
• \(v_y\) est la primitive de la fonction \(a_y\) vérifiant \(v_y(0) = 0\).

Déterminer les expressions \(v_x(t)\) et \(v_y(t)\).

3. Pour \(t\) appartenant à l'intervalle \([0\,;1]\), \(x(t)\) et \(y(t)\) sont les coordonnées du point \(\text{M}\) donnant la position de la traceuse :

• \(x\) est la primitive de la fonction \(v_x\) vérifiant \(x(0) = 0\) ; 
  
• \(y\) est la primitive de la fonction \(v_y\) vérifiant \(y(0) = 0\).

Justifier que les lois horaires du mouvement de la traceuse s'écrivent :
\(\begin{cases} x(t)= v_0t\\y(t)=-\dfrac{1}{2} \text{g}\,t^2\end{cases}\).

4. a. Dans l'intervalle \([0\,;1]\), résoudre l'équation \(y(t) = -2\) dans laquelle la grandeur \(y\) est exprimée en mètres. Arrondir la solution à \(10^{- 3}\).
On notera \(t_c\) la solution de l'équation \(y(t) = -2\).
Pour la suite de l'exercice, on prendra pour \(t_c\), la valeur \(0{,}64~\text{s}\).
    b. Déterminer l'abscisse \(x(t_c)\) de la position de la traceuse à l'instant \(t_c\).
    c. Déterminer la valeur numérique de l'instant où l'abscisse de la position de la traceuse est égale à \(4{,}0~\text{m}\).
    d. En déduire la valeur numérique de l'ordonnée de la position de la traceuse à l'instant où l'abscisse de cette position est \(4{,}0~\text{m}\).
    e. En utilisant les résultats précédents, en déduire si la traceuse atteint le bloc B.

Avant de pratiquer le parkour, renseignez-vous sur sa pratique afin d'éviter tout danger.
On trouve des informations sur le site du ministère des Sports : https://www.sports.gouv.fr/parkour-306